การออกแบบ วงจรคูณเลขฐานสอง

วงจรคูณ (Multiplication circuit)

การคูณเลขฐานสอง ก็เหมือนกับการคูณเลขฐานสิบทั่วไป คือ มีลักษณะดังข้างล่าง
 ให้  A = 1010₂  B =   101₂   และ X = AxB  จงหาค่า X

มีจุดที่ต้องสนใจ ตรงที่ 
1.ถ้าเรา เอาเลขฐานสอง  สองจำนวนมาคูณกัน จำนวนบิทสูงสุดที่อาจจะเกิดขึ้น เท่ากับผลรวมของจำนวนบิตจากตัวตั้งและตัวคูณ  เช่น  A มีขนาด 4 บิท B มีขนาด 3 บิท  AxB มีโอกาศทำให้เกิดผลลัพท์ขนาด 7 บิท  (4+3)
ให้  A = 1110₂  B =   111₂   และ X = AxB =  110 0010₂   (มีขนาด 7 บิท)
ดังนั้น ถ้าเราจะทำวงจร คูณเลขฐานสองขนาด8 บิท เราจะต้องมีที่เก็บข้อมูลแบบ 16 บิท
2. วงจรดิจิตอล มันไม่รู้จักค่าลบ ถ้าเอาจำนวนที่เป็นลบมาคูณ เช่นจำนวนที่อยู่ในรูป 2’s complement ผลลัพท์ที่ได้จะอยู่ในรูป 2’s complement   และบิทสูงสุดของตัวตั้งและตัวคูณจะถือเป็น Sign bit
เช่น 1110₂  ถ้าเป็น ตัวเลขที่ไม่คิดเครื่องหมาย( unsigned number) มันมีค่าเท่ากับ 14 และ ถ้าเป็นตัวเลขที่มีเครื่องหมาย (Sign number) มันคือ -2

การคูณเลขฐานสองขนาด1 บิท   

รูปที่ 9 วงจรคูณเลขฐานสองขนาด 1 บิท

จากตรารางค่าความจริง ของการคูณเลขฐานสองแบบ 1 บิท เราสามารถใช้ AND Gate 1 ตัวในการแก้คำตอบได้ ตามรูปที่ 9

การคูณเลขฐานสองขนาด2 บิท 
ให้ A0 และ A1 แทนค่าของ A ในบิท0 และบิท 1  ,  B0  และB1  แทนค่าของ  B ในบิท0 และบิท 1

รูปที่ 10 การคูณเลขฐานสอง แบบ 2 บิท

ตัวอย่าง A = 1 1₂ และ B = 1 1₂  จงหาค่า  AxB
A1 = 1  , A0 = 1 และ B1 = 1 , B0 =1
X0 =  A0xB0 = 1
X1 = A1xB0+A0xB1 = 1x1+1x1  = 0 และมีตัวทดไปยังบิท2 = 1
X2 = A1xB1 = 1 + ตัวทดจากบิท 1 = 1 +1 = 0 และทดไปบิท3 = 1
X3 = ตัวทดจากบิท 2 = 1
ได้ X = 1 0 0 1 ₂ 

จากวิธีการนี้ทำให้เราสามารถ ใช้วงจรคูณ 1 บิท ซึ่งก็คือ AND gate และวงจรบวก Half Adder หรือ Full Adder ในการแก้คำตอบของการคูณเลขฐานสองขนาด 2 บิทได้ตามรูปข้างล่าง

รูปที่ 11 วงจรคูณเลขฐานสอง แบบ 2 บิท

การคูณเลขฐานสองขนาด 4 บิท

รูปที่ 12 การคูณเลขฐานสอง แบบ 4 บิท

เพื่อที่จะเขียนสูตรการคูณเลขแบบ n bit เราจะมาดูการคูณแบบ 4 บิทก่อน จำนวนบิทสูงสุดที่มีโอกาศเกิดขั้น เท่ากับ 8 บิท คือ บิท 0 ถึง บิท 7

จากรูปที่ 12  ให้ Z0 ถึง Z7 แทนผลบวกของค่าที่เกิดจากการคูณในแต่ละบิท  เช่น

Z0 = A0B0

Z1 = A0B1 + A1B0

Z3 =  A0B(3-0) + A1B(3-1) + A2(B3-2) + A3(B3-3) + Co of Z2

Z3 = A0B3 + A1B2 + A2B1 + A3B0      ลองเปรียบเทียบกับตารางข้างบน

Z6 = A0B6 + A1B5 + A2B4 + A3B3 + A4B2 + A5B1 + A6B0     B4 ถึง  B6 และ A4 ถึง A6 เท่ากับ 0

      = A3B3 + Co of Z5

Z7  = 0 + Co of Z6

มีจุดที่ต้องสนใจ ตรงที่   
ถ้า A มีขนาด m bit และ B มีขนาด n bit แล้ว
1. จำนวน bit สูงสุดที่มีโอกาศขึ้น เท่ากับ m + n
2.จำนวนวงจรคูณแบบ 1 บิท ที่ต้องใช้ทั้งหมดเท่ากับ m x n 
3. จำนวนวงจรบวกที่ต้องใช้ เท่ากับ (m-1)x(n-1) + 1  เช่น กรณี  A และ B มีขนาด 4 bit ต้องใช้วงบวกอย่างน้อยเท่ากับ 10 วงจร กรณีใช้วงจรบวกแบบ 1 บิท 
4. ไม่มีการคูณเลขเกินกว่า 1 บิท
5. การคูณเลขฐานสอง  สามารถทำได้ด้วยการบวกแบบขนาน 

เอารูปที่ 12 มาวิเคราะห์อีกครั้ง  บริเวณพี้นที่สีเหลือง มันสามารถแทนได้ด้วยวงจรบวก 4 บิท ตามรูปที่ 13 ข้างล่าง เพราะมันมีจำนวนบิทเท่ากับ 4 บิทคือเริ่มจากบิท 1 ถึง บิท 4

รูปที่ 13 ใช้วงจร 4 bit full adder ในการบวกพื้นที่บางส่วนของผลคูณ

พื้นที่เส้นประสีแดง และพื้นที่สีเขียวก็เป็นการบวกแบบ 4 บิทเช่นกัน  แต่มีการทับซ้อนกับพื้นที่เหนือมัน  บริเวณทับซ้อนนี้ก็คือการเอาผลลัพท์ที่บวกไว้ก่อนหน้ามารวมกับพื้นที่ๆ ไม่ทับซ้อน

ดูในบิท2 บริเวณพื้นที่สีเหลือง   คือผลบวกของ A2B0 + A1B1   และอยู่ในพื้นที่เส้นประสีแดงเท่ากับ  A0B2 ซึ่งเป็นบริเวณไม่ทับซ้อน
ดังนั้นผลรวมในบิท 2 มีค่าเท่ากับ  A2B0 + A1B1 + A0B2  เท่ากับผลลัพท์ที่ต้องการในบิท2 (X2 ล่างสุด ในรูปที่ 14)

 เปรียบเทียบกับวงจรคูณเลขแบบ 4 บิท รูปที่ 14ข้างล่าง ที่ Full Adder 4 บิท  ตัวบนคือการบวกพื้นที่สีเหลือง ตัวที่สองคือการบวกพื้นที่สีแดง และตัวที่สามคือการบวกพื้นที่สีเขียว มันจะเหลื่อมกัน 1 บิทแบบตารางข้างบน

รูปที่ 14  4 bit multiplier โดยการใช้ 4  bit full adder และ 1 bit multiplier

หมายเหตุ
    1. วงจรในรูปสร้างโดยใช้ โปรแกรม Logisim
    2.  4 bit full adder ในรูปเป็นการใช้ subcircuit  ในวงจร Logisim เพื่อจะได้ไม่ต้องแสดงรายละเอียดข้างในของ 4 bit  full adder ตามรูปที่ 13
    3.  Ci หรือ Carry in ไม่จำเป็นต้องใช้ เพราะเราใช้ ขา A3 ของ  4 bit  full adder ทำงานแทน ดังนั้น ควรจะต่อ Ci ทั้งหมดลง Ground


                            ดูวิดีโอการสร้างและทดลอง ได้ที่นี่

ก่อนปี 1970  ALU (Arithmetic and Logic Unit) หรือหน่วยประมวลผลขนาดเล็ก , Central Processing Unit เช่น Z80 หรือแม้กระทั่ง Mini-computer จะไม่มีวงจรคูณ เนื่องจากหน่วยความจำภายในทำได้ยากและมีราคาสูง และมักจะเป็นตัวถ่วงในการทำงาน เพราะมันเปลี่ยนแปลงได้ช้า ดังนั้น การคูณจึงอาจจะทำโดยการเขียนโปรแกรม เช่น การวนลูป

สมมุติ   เราเขียนโปรแกรมด้วย ภาษาชั้นสูง เช่น C, C++, Python  และอื่นๆ ที่รองรับคำสั่งการ loop  เราอาจเขียนโปรแกรมประมาณนี้
Read  A;         #อ่านค่า A   ตัวตั้ง
Read B ; #อ่านค่า  B  ตัวคูณ
X = 0; #ให้ X  มีค่าเท่ากับ 0 ในตอนเริ่มต้น  , X เป็นผลลัพท์ของ AxB
For I = 1 to B         # ทำวน loop
 { I = I +1; # เพิ่มค่า I ทีละหนึ่ง
    X = X +A; # เพิ่มค่า X ด้วย A
  }
END


แล้ว Compiler ของภาษาที่ใช้เขียนโปรแกรมจะแปลเป็นรหัสที่ CPU เข้าใจได้
เมื่อลงลึกไปถึงวงจรภายใน การวนลูปในลักษณะนี้ ต้องอาศัย การ Shift register , การเปรียบเทียบบิท และการบวก ซึ่งจะไม่มีการใช้วงจรคูณแต่จะอาศัยวงจร  Shift register หรือวิธีการ Shift register , การเปรียบเทียบ บิท , Register เป็นต้น  ยังจะไม่กล่าววิธีการเหล่านี้ในตอนนี้

008

Author & Editor

กรุณา อย่าเขียนความคิดเห็นที่ไม่เกี่ยวกับบทความ หรือข้อความที่พาดพิงผู้อื่นในลักษณะที่ทำให้เกิดความเสียหายต่อผู้อื่น